笛卡兒生在一個富有律師的家庭,自幼身體柔弱,父母允許他在床上作功課,久而久之就形成習慣,之後,他一輩子都是這樣。20歲畢業於Poityers 大學法律系,之後,前往巴黎跟Mydorde和Mersenne學了一年數學,由於解決了荷蘭Bredas廣告牌上的一道難題,而信心大增,從此認真學習數學、研究數學。 

      他由哲學家、自然界、科學應用來看數學,他認為數學的偉大在於其證明所依據的公理是無缺點的,數學是獲得確定和有效證明的方法,而且數學是形而上的。他說:「數學是人類知識活動留下來最具威力的知識工具,是一些現象的根源。數學是不變的,是客觀存在的,上帝必以數學法則建造宇宙。」 

      笛卡兒說:「希臘幾何太過抽象,他只是用來訓練瞭解,使想像力大為疲勞的工具罷了!而代數太過於遵守原則和公式,計算過於繁雜,不是一門改良心智的科學。」 

      所以他把代數應用到幾何,在西元1637年,他寫了一本幾何學(LAG'eom'etrie)。該書難懂,他吹牛說歐洲少有數學家可以看懂它,他對作圖和說明只起頭,而將過程留給讀者自證,他說他的書如同建築師一樣,把計畫和設計圖鋪好,其它的瑣事留給泥水匠和工人。 

      他為了讓幾何問題有一定的思考發法,發明了坐標幾何。基於坐標,幾何圖形可以被表示為坐標之間的運算關係,幾何問題也就變成解方程式的問題了。他研究巴伯斯(Pappus)所提出:"求平面上一動點c的軌跡"的四線問題時,引入了坐標的觀念,考慮動點,它到這四條線的距離dn,n=1,2,3,4,若滿足kd1d2=d3d4,k是常數,則這些動點的軌跡如何?前人只能就某些特殊相對位置的四條直線求解,但是笛卡兒說引進坐標的dn是一次式,而kd1d2=d3d4則為動點坐標的二次方程式,所以軌跡是一圓錐曲線。 

      值得一提的是,當時笛卡兒或者費瑪所提出的坐標都只考慮正數,而且並不是先定好兩軸,是以一直線和一固定的夾角為已知,並不需要先畫出y軸即可描述點的位置。由他所設的坐標系,笛卡兒導出動點軌跡的方程式,他並將不同的曲線放在同一個參考軸上,利用解聯立方程式來求它們的交點。 

       除此之外,笛卡兒經由坐標幾何的發展,賦予了幾何曲線更寬廣的空間。這點可以從古希臘的幾何談起。古時希臘的幾何多以圖形為主,他們把曲線分為立體曲線、平面曲線、線性曲線三種;立體曲線即圓錐曲線,平面曲線即能以直尺和圓規作出來的圖形,其他的皆為線性曲線,線性曲線被認為不能登大雅之堂。笛卡兒不同意希臘人對線性曲線的觀點,他首創幾何曲線是能以唯一的x、y之有限次方程式表示的曲線,對於任意一個x、y的方程式,都可以畫出它的圖形,由此他開拓了一個新的研究領域,對於一些以前不被接受的幾何曲線賦予了新的意義。 


       西元1649年,被邀請擔任瑞典皇后Christina的家教,1650年死於肺炎。

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