永安國中【數學領域】部落格

世界上到底有沒有吸血鬼？

根據聯合國公布的資料顯示，全世界人口總數在２０１２年已經超過７０億。古老歐洲有吸血鬼的傳說，如果吸血鬼吸了一個人的血，那個被吸血的人也會變成吸血鬼。我們來試著挑戰一下「世界上到底有沒有吸血鬼」的證明。

假設一個吸血鬼，一個月只吸一個人的血，從２０１２年的１月開始，只有１位吸血鬼；２０１２年的２月就一共會有２位吸血鬼；２０１２年的３月，就會有４位吸血鬼。

（１） 請將７０億用科學記號表示？

《解析》７０╳＝７╳

魔方陣是大家所熟知的數學問題，其規則是方陣中每一行、每一列以及對角線三個數字的總和都要相等。

在我國古書上有記載：『九宮之義，法之靈龜。二四為肩，六八為足，左七右三，載九履一，五居中央。』為三階魔方陣說明了一種答案，你知道其它的方法嗎？

上面的答案只是將問題中的方陣旋轉90度而已，如果要將排法訂出一個規律其實是有方法的，程序如下：

你有看出規律嗎？它可以應用於所有的奇數階方陣哦。

    高斯（Carl Friedrich Gauß，公元1777年4月30日─公元1855年2月23日）是德國數學家、物理學家、天文學家。生於不倫瑞克，卒於哥廷根。高斯是近代數學奠基者之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德（Archimedes）、牛頓（Newton）、歐拉（Euler）並列。他被公認為有史以來最多產和影響深遠的數學家之一，有「數學王子」之稱。

　　高斯幼年時就表現出超人的數學天才，為人所熟知的是他在小學時便懂得等差級數（Arithmetic Series）的計算方法，令他的老師也大為震驚。1795年進入哥廷根大學（Universität Göttingen）學習。第二年他發現正十七邊形的尺規作圖法，並給出可用尺規作出的正多邊形的條件，解決了歐幾里得以來懸而未決的問題。1798年轉入黑爾姆施泰特大學，1799年獲博士學位。他從1807年開始擔任哥廷根大學的教授和哥廷根大學天文台（Universtäts Sternwarte Göttingen）台長，並受命於政府對漢諾威王國進行三角測量。

　　高斯的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論、代數學、非歐幾何、複變函數分析學、統計學和微分幾何等方面都做出了開創性的、廣範而多樣化的貢獻。他還把數學應用於天文學、大地測量學、電學、磁學和重力的研究，發明了最小二乘法原理。他在年僅22歲時完成的博士論文中就發展了複數的概念，並用以建立代數基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）。他的數論（Number Theory）研究總結在他的1801年發表的《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）中，這本書奠定了近代數論的基礎，它不僅是數論方面的劃時代之作，也是數學史上不可多得的經典著作之一，而數論也成為一個完整的數學分支。高斯對代數學的重要貢獻是證明了代數基本定理，他的存在性證明開創了數學研究的新途徑。高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理，發現橢圓函數的雙周期性，但這些工作在他生前都沒發表出來。他還深入研究複變函數，建立了一些基本概念並發現了著名的「柯西積分定理」（Cauchy's Integral Theorem）。1828年高斯出版了《關於曲面的一般研究》，全面、系統地闡述了空間曲面的微分幾何學，並提出內蘊曲面理論。高斯的曲面理論後來由黎曼（Riemann）進一步發展。高斯一生共發表155篇論文，他對待學問十分嚴謹，只是把他自己認為是十分成熟的作品發表出來。其著作還有1839年的《地磁概論》和1840年的《論與距離平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。

　　由於高斯的對數學的貢獻很大，所以有不少記念他的物品，最為人所知的是德國的十馬克紙幣以印有高斯的肖像，此外還有郵票和以他的名字命名的獎項「高斯獎」（Gauss Prize）等。

華容道

華容道的遊戲，有人說是根據上這段故事所設計的。不過，遊戲的目的可不是擒拿曹操，而是要讓曹操藉著各棋子的移動，從下方的出口逃出去！

 http://yll.loxa.edu.tw/001/game2.swf

魔術方塊的解法介紹

http://w3.nctu.edu.tw/~u9112035/Rubiks/

魔術方塊是益智玩具史上最了不起的發明，沒有任何一項益智玩具的銷售量能夠超越它，魔術方塊是匈牙利首都布達佩斯的一位年輕建築教授Rubik 發明，因此它的英文名稱為Rubik's Cube 原來的用意是為了向他的學生教授建築學的一些理念，沒想到變成一時風靡全球的益智玩具。

數字接龍

一個人玩的遊戲..現在有有50個數分別是1,2,3,4,5,....,50，從中選一個之後，地二個選的數只能是前一個數的因數或是倍數，一次只能拿一個，拿到不能拿為止，看看最多可拿幾個！

昌爸工作坊

國立台中自然科學博物館－數學

創意數學教案競賽

九章出版社

凡異出版社

可供學生參考  https://www.youtube.com/watch?v=yKLl7Vt9uEI 

畢達哥拉斯 (Pythagoras)

                        西元前六世紀，大約是孔子生活的時代，畢達歌拉斯生於愛琴海上的摩斯島(Samos)，他的一生充滿傳奇與神秘，令歷史學家很難分清事實和虛偽。似乎可以肯定的一件事是畢達歌拉斯發展了數學的邏輯思想，對於數學發展史上的第一個黃金時期影響甚鉅。他認識到數是獨立於有形世界而存在的，對數的研究不會因感覺差錯而受影響，數不是僅用於計算和記帳而已。

畢達歌拉斯歷經20年的海外旅遊，到過印度、埃及、巴比倫，他瞭解這些世界的數學雖然是一套複雜的系統，但都僅僅是用來解決實際生活問題的工具。當他回到摩斯島後，他建立一所學校叫畢達歌拉斯半圓，致力於哲學研究，他想理解數學，而非僅僅使用數學。初期，畢達歌拉斯花錢請一位小男孩成為他的第一位學生，每聽一節課就給予三銀錢，幾星期後，畢達歌拉斯注意到學生由勉強學習轉變成對知識的熱情。他佯裝不再有能力支付學生，因而停止上課，這時，學生反而寧可付錢聽課。

畢達歌拉斯因社會改革的觀念不受歡迎，帶著母親和信徒逃到義大利南部的克羅敦(Croton)，他得到富人米洛(Milo)的資助，後來還娶了他的女兒西若(Theno)，米洛是一位為傑出運動員，力大無窮，曾12次獲得奧林匹亞競賽金牌，並醉心於數學和哲學的追求。

畢氏建立畢達歌拉斯兄弟會，崇拜整數、分數為偶像，他們認為透過對數的瞭解，可以揭示宇宙神秘，使他們更接近神，事實是一個宗教性社團組織。入會時需宣誓不得將數學發現公諸於世，甚至在畢氏死後，有成員因公開正12面體可由12個正五邊形構成的發現而被迫浸水致死。他們集中注意於研究自然數和有理數，特別是完美數，它是本身正因數（除了本身之外）之和，例如：6=1+2+3、28=1+2+4+7+14。他們認為上帝因為6是完美的，因此選擇以6天創造萬物，且月亮繞行地球一週約28天。

 費瑪（Pierre de Fermat）是一個17世紀的法國律師，也是一位業餘數學家。之所以稱費瑪「業餘」，是由於他具有律師的全職工作。著名的數學史學家貝爾（E. T. Bell）在20世紀初所撰寫的著作中，稱費瑪為「業餘數學家之王」。貝爾深信，費瑪比他同時代的大多數專業數學家更有成就。17世紀是傑出數學家活躍的世紀，而貝爾認為費瑪是17世紀數學家中最多產的明星。
      費瑪的父親多米尼克．費瑪（Dominique Fermat）是一位皮貨商，同時也是波蒙特－洛門地區的第二執政官。他的母親克萊兒．德．隆格（Claire de Long）則出身於國會法官世家。費瑪於1601年8月出生（於8月20日在波蒙特－洛門受洗），而父母一心要栽培他成為地方首長。他幼年在杜魯斯求學，30歲時就任同一地的請願委員，同年與露薏絲．隆格（Louise Long）結婚，育有三子二女，其中一個兒子克雷門．山繆．費瑪（Clement Samuel Fermat）成了他科研上的主要助手，並在費瑪逝世後，整理出版了他的工作成果。事實上，這份出版品也就是今日聞名已久的費瑪最後定理之出處。
由於家境富裕，父親特意給他請了兩個家庭教師，不入學校而在家裡接受系統教育。小時後的費瑪雖稱不上是神童，卻也相當聰明。費瑪父親比較開通，並不寵愛孩子，因此費爾瑪學習十分努力，文科、理科都學得不差，不過，他最喜歡的功課，還是數學。1617年，費瑪準備考大學，父親希望他讀法律，費瑪也喜歡這門學科，所以沒有多大的爭議，就接受了父親的安排。畢業後，費瑪接受一個事務所的聘請，成了一名律師。由於工作認真，並熱心於社會福利事業，30歲那年，他被選為家鄉-圖盧茲的地方議會議員。 費瑪潔身自好，並不汲汲於名利，因此，平時比較空閒。閒餘時間，他常看些古書，尤其愛讀古希臘的數學名著。他不時作些題目，並進行數學研究，與當時的數學名家，如巴斯卡、笛卡兒、渥里斯等人通信，交流心得體會。
      費瑪雖說是一位業餘的數學愛好者，但由於他刻苦鑽研，又敢於進行創造性的思考，所以取得的成果豐碩。他在解析幾何、數論、無窮小分析〈微積分之前身〉和概率論方面，都有重要之貢獻。費瑪私淑戴奧弗多斯，來研究數論，師從希臘幾何學家，特別是阿波羅尼，來研究曲線，他曾和其他的人重建阿波羅尼失傳的著作"On Plane Loci"。在代數上已有所得後，他獻身於曲線的學習，而寫成《Ad Locos Planos et SolidosIsagoge》(平面和立體軌跡入門)一書。費瑪對於軌跡的研究有一般性的方法，這是古希臘所未能辦到的。我們不知他的坐標幾何是如何孕育出來的，他對韋達利用代數解幾何問題應是相當熟悉，但更可能的是他將阿波羅尼的結論直接轉換成代數式。在1638年笛卡兒發表其《La Ge`ome`trie》大作後的第二年，費瑪寄給他一份如何找切線的論文。他與笛卡兒並列為解析幾何的發明者。
檢查極大和極小問題時，他先使一代數方程的變數作微小的變動，然後使這變動消失。他還運用無窮小的思想到求積問題上，已具今日微積分的雛形。這也是費瑪的卓越成就之一，他在牛頓出生前的13年，提出了有關微積分的主體概念。牛頓以及同時代的萊布尼茲共同探討運動、加速、力、軌道以及應用數學上連續變化的理論，而這也是後世所稱的微積分。

尤拉707年4月15日生於瑞士巴塞爾附近，父親是一位牧師。15歲進入巴塞爾大學修習神學和希伯來語課程, 並跟隨白努力(JohnBernonili)研究數學，白努力(JohnBernonili)熱心地每週單獨為他上一次課。尤拉的父親一直希望他放棄數學而專心研讀神學，還好白努力父子對他父親誇說尤拉將是一位偉大的數學家，父親才讓步。17歲時，獲得碩士學位。十九歲，發表船桅方面理論得到法國國家科學院表揚。在Nicholas和Daniel的推薦下遠赴俄國St.Petersburg學院教書， 擔任Daniel教授的助教, 不久就由助教躍升為教授。

      在德國Frederick大帝的邀請下，西元1741年前往柏林，直到1766年。在柏林期間受聘擔任普魯士國王姪女的家教，教授的科目包括數學、天文、物理、哲學和宗教。後來將講義編輯成書出版，書名叫<Letters to a German Princess>。尤拉幫Frederick大帝研究保險制度，運河和水利的設計。他在德國25年期間共發表了論文數百篇。

      1730~1740這十年他沉沒埋頭於研究工作，他的右眼在這期間失明了，據傳是他為了解開一題天文學問題來取得巴黎懸賞的獎金，而花了三天三夜解題，雖然解決了，不過他也病倒了，病中右眼失明。西元1766年59歲時應俄國Catherine之邀返回俄國。返回俄國不久，左眼也因白內障盲了。在他人生的最後17年是兩眼全瞎之下度過的，尤拉憑著過人的記憶，對三角和分析的公式、定理都瞭若指掌，計算能力比明眼人還快。他是一位多產的數學家，平均每年都有高水準的論文約800頁，屢獲獎賞。許多論著和400多篇論文都是在瞎眼以後完成的。尤拉全集有70冊，著書中以下三本最著名：Inoductio In Analysin Infinitorum(1748)<<無窮相分吸引論>>，Institutiones Calculi Differentialis(1755)<<微積分概論>>，3本Institutiones Calculi Integralis(1768-1770)<<積分學概論>>。他的作品數量驚人，範圍涵蓋微積分、微分方程、解析幾何、微分幾何、數論、級數、數學物理等。難得有人能像他一樣將各種數學知識連貫一起，導出這麼多的新結果，例如：Euler 公式,Euler多項式、Euler常數、Euler積分和Euler線。

      尤拉不但在數學論著上多產，他也有十三個小孩。他為人慈祥，個性溫和，人格高尚，從不妄自尊大，譽滿學林。並常跟小孩和孫子玩數學和科學遊戲。1783年9月18日逝世於聖彼得堡。